称X上的非零亚纯微分的除子为X上的一个典范除子,记为 Z . X上全体典范除子也可构成一主除子群，记为KDiv(X). 那么X上全体主除子也可构成一主除子群，记为PDiv(X). 除子 除子 两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。
往几何上看，除子一是给出相交等子流形的信息，二是考虑其对应到Line bundle的信息，给出它到射影空间的映射和映射度之类的信息。 子流形几何的信息是这个流形的内蕴信息，除子类群本身也是作为几何不变量存在的。 若 X 是一不可约（irreducible），既约（reduced）的局部诺特概形（locally noetherian scheme）。 其上一素韦伊除子（prime Weil divisor）是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。 至此我们对一般除子理论的叙述已经基本覆盖Hartshorne代数几何的II.6节了, 但我们并没有花足够的篇幅来讨论具体的例子, 除子2023 因此之后我们将学习它在代数曲线理论中的应用.
除子: AR 5.1 除子 及Riemann-Roch定理简述
至于除子怎样反映空间（曲线）的信息，一个简单的例子是Riemann-Roch。 代数几何中的技术细节几乎完全不同，但是整体的框架基本上是一致的，（好的情况下）线丛对应于除子，包括Dedekind环的可逆模也是线丛，它们都给出空间的部分几何性质，并且是可以计算的。 总起来说，除子来源于可逆的局部截面，好的情形下对应于线丛，因而给出了空间的几何性质。 特别地，最简单的向量丛是线丛，如果能够了解所有线丛的性质（这步看上去是可能的），那么相应流形的几何性质就可能被确定。
若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。 我们前面定义的Weil除子好处是直观自然, 而我们接下来要讨论的Cartier除子则可以在一般的概型上讨论. 注：对于任两非零半纯微分 w_1,w_2 ,由于它们的商总为一半纯函数，因此 div(w_1)-div(w_2) 为一主除子,因此 w_1,w_2 在同一除子类中。 除子是一个几何对象余一维的东西，我们一般把所有除子放在一起考虑，烹饪成除子类群（Divisor class group），即除子生成的加法群。 这次顺便加深了对于之前一些交换代数概念的理解, 例如离散赋值环, Dedekind整环, Krull整环等等. 兩個除子之和對應的可逆層是原來兩個除子對應之可逆層的張量積。
除子: 除子理论( ：Weil除子
线丛还有一个很好的性质，两个线丛的张量积还是线丛，那么配对 除子 (L,\otimes) 除子 就应当结构性地反映了流形的几何性质。 并且，（一般我们研究的有限维情况）一个线丛在算子 \otimes 下有逆，这样线丛的等价类就构成了一个群。 接下来我们都考虑紧复流形的情形，那么刚才提到的群就是所谓的Picard群。
考虑高维的情形，一个素除子的局部就是一个截面的非零部分，恰好是余维数1的总和，局部上还是从一个可逆（可除）的全纯函数决定的，这就是所谓的Cartier除子，之前的讨论同样说明素除子带系数的形式和与线丛是一一对应的。 除子和线丛就是同一事物的两面，研究它们可以一定程度上给出空间的几何性质，并且它们的计算不是非常困难。 在曲线（黎曼面）上，余维数为1的对象就是点，更准确地说可以是某个（局部）全纯函数的零点，那么这个点之外该全纯函数可逆。 当给定黎曼面上有限多个（带系数的）点时，如上所述的可逆全纯函数给出了转移函数，因此给出了黎曼面上的线丛；反过来给定一个线丛，它就有相应的转移函数，因此局部的零点、极点给出了有限多个（带系数的）点。 这些带系数的点称为除子，以上说明了黎曼面上除子（的线性等价类）和线丛（的同构类）一一对应。 除子 一方面它叫做除子的原因就是Picard群中元素的可逆性。
除子: 除子理论( ：Cartier除子
若兩個除子之差為一主除子，則他們定義的線叢是同構的。
有兴趣的读者可以去看看这几节用到的参考资料, 许多内容(例如相对非负Cartier除子等)我都没有写在这个系列中. 若 X 是一不可約（irreducible），既約（reduced）的局部諾特概形（locally noetherian scheme）。 其上一素韋伊除子（prime Weil divisor）是指一個余維數為一的不可約且既約的子概形。 可以看到Cartier除子的相关概念和Weil除子高度相似, 我们自然会问它们之间有何联系, 但我们不妨先审视一番Cartier除子到底为何物, 并简单讨论其性质. 定义 除子 2.1.1[素除子] 概型 X 的素除子(prime divisor)指的是余一维的整闭[1]子概形.
